首页 算法 动态规划

# LIS & LCS

# P1020 导弹拦截

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n = 0;
int a[N], b[N], s[N], ls[N];
void add(int x, int v) {
	for(; x<=n; x+=x&(-x)) s[x] = max(s[x], v); 
}
int query(int x) {
	int ans = 0;
	for(; x>0; x-=x&(-x)) ans = max(ans, s[x]);
	return ans;
}
int main() {
	//freopen("p1020_1.in", "r", stdin);
	for(; scanf("%d", a+n+1) != EOF; ++n, b[n] = a[n]);
	
	sort(b+1, b+n+1);
	int t = unique(b+1, b+n+1) - (b+1);
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) 
		a[i] = lower_bound(b+1, b+t+1, a[i]) - b;
	
	int ans = 0;
	for(int i=n; i>0; --i) {
		int q = query(a[i]) + 1;
		add(a[i], q);
		ans = max(ans, q);
	}
	printf("%d\n", ans);
	
	ans = 0;
	memset(s, 0, sizeof s);
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		int q = query(a[i]-1) + 1;
		add(a[i], q);
		ans = max(ans, q);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}
# P1439 【模板】最长公共子序列
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, b[N], p1[N], p2[N], s[N];
int lowbit(int x) {
	return x&(-x);
}
void add(int x, int v) {
	for(; x <= n; x += lowbit(x)) s[x] = max(s[x], v);
}
int query(int x) {
	int ans = 0;
	for(; x > 0; x -= lowbit(x)) ans = max(ans, s[x]);
	return ans;
}
int main() {
	
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", p1+i);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", p2+i);
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) b[p1[i]] = i;
	for(int i=1; i<=n; ++i) p2[i] = b[p2[i]];
	
	int ans = 0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		int q = query(p2[i]-1) + 1;
		add(p2[i], q);
		ans = max(ans, q);
	}
	
	printf("%d", ans);
	return 0;
}
# 0-1 背包
F(i,j)={F(i−1,j)j≤wimax⁡{F(i−1,j),F(i−1,j−wi)+vi}j>wiF(i,j)= \begin{cases} F(i-1,j)& j \leq w_i\\ \max\{F(i-1,j),F(i-1,j-w_i)+v_i\}& j > w_i \end{cases}
注意二维转换成一维的时候，jj 要从后向前枚举，因为每次的新结果都是根据上一个结果来求得的，从后向前可避免重复取同一物品。
# P2196 挖地雷
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 30;
typedef pair <int, vector<int> > piv;
vector<int> g[N]; 
int s1[N], n, w[N], in[N];
vector<int> ss[N];
piv ans;
void outp(vector<int> &ans) {
	for(vector<int>::iterator it = ans.begin(); it != ans.end(); ++it) 
		printf("%d ", *it);
	printf("\n");
}
piv dfs(int x, vector<int> s) {
	if(s1[x]) {
		return (piv){s1[x], ss[x]};
	}
	if(g[x].size() == 0) {
		s1[x] = w[x]; ss[x].clear(); ss[x].push_back(x);
		return (piv){s1[x], ss[x]};
	}
	s1[x] = w[x];
	ss[x].push_back(x);
	vector<int> st = ss[x];
	
	for(vector<int>::iterator it = g[x].begin(); it != g[x].end(); ++it) {
		piv p = dfs(*it, s);
		if(p.first + w[x] > s1[x]) {
			s1[x] = p.first + w[x];
			ss[x] = st;
			ss[x].insert(ss[x].end(), p.second.begin(), p.second.end());
		}
	}
	return (piv){s1[x], ss[x]};
}
int main() {
	
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", w+i);
	for(int i=1, a; i<=n; ++i) {
		for(int j=i+1; j<=n; ++j) {
			scanf("%d", &a);
			if(a) g[i].push_back(j), ++in[j];
		}
	}
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		if(!in[i]) {
			piv p = dfs(i, ss[i]);
			if(p.first > ans.first) {
				ans.first = p.first;
				ans.second.clear();
				ans.second.insert(ans.second.end(), p.second.begin(), p.second.end());
			}
		}
	}
	
	outp(ans.second);
	printf("%d", ans.first);
	
	return 0;
}
# P1455 搭配购买
套一个并查集。
Code：（2019.12.01）
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
const int N = 11000; 
struct node {
	int c, d;
} val[N], tmp[N];
int n, m, w, fa[N], list[N], dp[N], t, ans = 0;
bool flag[N];
int root(int x) {
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = root(fa[x]);
}
void operator +=(node &A, node B) {
	A.c += B.c, A.d += B.d;
}
int main() {
	
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) fa[i] = i;
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d%d", &val[i].c, &val[i].d);
	
	for(int i=1; i<=m; ++i) {
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		int u1 = root(u), v1 = root(v);
		fa[u1] = v1;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) root(i);
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) tmp[fa[i]] += val[i];
	
	memcpy(list+1, fa+1, n*4);
	std::sort(list+1, list+n+1);
	t = std::unique(list+1, list+n+1) - (list+1);
	
	for(int i=1; i<=t; ++i) 
		for(int j=w; j>=tmp[list[i]].c; --j) 
			dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - tmp[list[i]].c] + tmp[list[i]].d);
	
	printf("%d\n", dp[w]);
	
	return 0;
}
# P1164 小 A 点菜
这怎么会是橙题啊
注意 DP 的初值 dp[0] = 1 ，因为需特别考虑过程中「从 0 开始买菜」的情况。
循环中的 i 表示已经考虑到了前 i 道菜。如果能买的起，就直接把 dp[j-a[i]] 转移过来，否则不变。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int dp[11000], n, m, a[110];
int main() {
	
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	
	dp[0] = 1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		for(int j=m; j>=a[i]; --j) {
			dp[j] += dp[j-a[i]];
		}
	}
	
	printf("%d\n", dp[m]);
	return 0;
}
# 完全背包
与上面的 01 背包问题差别不大，只是多了一个条件：每个物品可以取无数次。
方法很简单，只要 jj 从前向后枚举即可。这样做其实是变相利用了它的后效性，使同一个物品可以被多次取到。
# P1616 疯狂的采药
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int t1, m, dp[int(1e7+10)], t[int(1e4+10)], v[int(1e4+10)];
int main() {
	
	scanf("%d%d", &t1, &m);
	for(int i=1; i<=m; ++i) scanf("%d%d", t+i, v+i);
	for(int i=1; i<=t1; ++i) {
		dp[i] = dp[i-1];
		for(int j=1; j<=m; ++j) 
			if(i-t[j]>=0) dp[i] = max(dp[i], dp[i-t[j]] + v[j]);
	}
	
	printf("%d\n", dp[t1]);
	return 0;
}
# 多重背包
一种方法是转化成 01 背包处理。
首先找到最大的 kk 使得 t=∑i=0k2i(t<ci)t=\sum_{i=0}^{k}2^i(t < c_i)，也就是找到最大的小于 cic_i 的二的各个次幂和。这样之后，我们就可以通过不重复且有选择地使用 202^0 到 2k2^k 来表示出 1 到 t 所有的数。但是剩下的呢？我们将剩下的 ci−tc_i-t 单独分成一个物品，因为 1 到 t 都可以表示，那么有了这个 ci−tc_i-t 物品，就可以表示出所有数了。
例如，把 2121 分为 [1,2,4,8,6][1,2,4,8,6]，这样就可以从中不重复地选择来表示出 1 到 cic_i 的所有数了。
# P1776 宝物筛选
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110, M = 44000;
int n, W, v[N], w[N], m[N], dp[M];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &W);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d%d%d", v+i, w+i, m+i);
	
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		//1, 2, 4, 8, ... 2^k, m_i-2^(k+1)+1
		int sum = 0;
		for(int j=0; sum + (1<<j) <= m[i]; ++j) {
			sum += (1<<j);
			for(int l=W; l>=w[i]*(1<<j); --l) 
				dp[l] = max(dp[l], dp[l-w[i]*(1<<j)] + v[i]*(1<<j));
		}
		for(int l=W; l>=w[i]*(m[i] - sum); --l) 
			dp[l] = max(dp[l], dp[l-w[i]*(m[i] - sum)] + v[i]*(m[i] - sum));
	}
	printf("%d\n", dp[W]); 
	return 0;
}
# P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统
首先要想到这题可能并不是数论。
# 80 分做法:
考虑爆搜，枚举现有系统中的每个数能否被其他已选择的数表示出来。这里可以贪心的想，如果一个数能被另外几个数表示，那么删除它一定是更优解。
dfs() 部分可以换成背包，不过复杂度级别是差不多的。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
bool us[N];
int T, n, maxv, t, a[N];
bool dfs(int s, int x, int p) {
	if(x > n or s > a[p]) return false;
	if(x == p or us[x]) return dfs(s, x+1, p);
	for(int i=0; i<=maxv/a[x]; ++i) {
		if(s+a[x]*i == a[p]) return true;
		bool f = dfs(s+a[x]*i, x+1, p);
		if(f) return true;
	}
	return false;
}
int main() {
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d", &n);
		
		maxv = 0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) {
			scanf("%d", a+i);
			maxv = max(maxv, a[i]);
		}
		
		sort(a+1, a+n+1);
		t = unique(a+1, a+n+1) - (a+1); int ans = t;
		
		memset(us, false, sizeof us);
		for(int i=1; i<=t; ++i) {
			if(dfs(0,1,i)) {
				us[i] = true;
				--ans;
			}
		}
		
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}
# 满分做法：
其实在 80 分基础上再多想一步就够了：我们不用枚举每个数的表示法来判断可不可以删。直接对所有数 dp，如果一个数能用一种以上的方式表示出来，那么就删掉它。显然删掉这个数是无后效的。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
bool us[N]; int dp[26000];
int T, n, maxv, t, a[N];
int main() {
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d", &n);
		
		maxv = 0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) {
			scanf("%d", a+i);
			maxv = max(maxv, a[i]);
		}
		 
		sort(a+1, a+n+1);
		t = unique(a+1, a+n+1) - (a+1); int ans = t;
		
		memset(dp, 0, sizeof dp);
		dp[0] = 1;
		for(int i=1; i<=t; ++i) {
			for(int j=a[i]; j<=maxv; ++j) {
				dp[j] += dp[j-a[i]];
			}
		}
		for(int i=1; i<=t; ++i) {
			if(dp[a[i]] > 1) --ans;  
		}
		
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}
# 分组背包
在枚举主件的前提下枚举附件。
# P1064 金明的预算方案
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 33000, M = 65;
typedef vector<int>::iterator IT;
int n, m, p[M], v[M], dp[N];
int g[M][2];
vector<int> s;
int main() {
	
	//freopen("P1064_5.in","r",stdin);
	
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=1; i<=m; ++i) { int q;
		scanf("%d%d%d", &v[i], &p[i], &q);
		if(q == 0) s.push_back(i);
		else if(g[q][0]) g[q][1] = i; else g[q][0] = i;
	}
	
	for(IT it = s.begin(); it != s.end(); it++) {
		int i = *it;
		int a = g[i][0], b = g[i][1];
		for(int j=n; j>=v[i]; --j) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + v[i]*p[i]);
			if(j-v[i]-v[a] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]-v[a]] + v[i]*p[i] + v[a]*p[a]);
			if(j-v[i]-v[b] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]-v[b]] + v[i]*p[i] + v[b]*p[b]);
			if(j-v[i]-v[a]-v[b] >= 0) 
				dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]-v[a]-v[b]] 
				+ v[i]*p[i] + v[a]*p[a] + v[b]*p[b]);
		}
	}
	printf("%d\n", dp[n]);
	return 0;
}
# 装满背包
一种特殊情况。
背包不一定装满时，dp[j]dp[j] 记录的是前 i 件物品放入空间为 j 的背包中的最大价值，要在一开始，让 dp[]dp[] 中的每个值为 0。
背包装满时，注意要把 f[j] （表示刚好装满的最大价值）初始化为 f[0] = 0; f[1..n] = -INF; ，这样就能使那些能够恰好装满背包的物品的值为正数，而那些不能恰好装满背包的物品的值就为负数，就容易区分了。
dp[n(背包最多承重)] == inf 的话，说明装不满；如果装满的话， dp[n] 即为最高价值。
   
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