图论：Tarjan - 算法

# 前置概念

时间戳：搜索时第几个搜索到这个点。如搜索顺序是 1->2->3->6，则 6 的时间戳为 4

连通分量：对于图 G 来的一个子图中，任意两个点都可以彼此到达，这个子图就被称为图 G 的连通分量（一个点就是最小的连通分量）

最大连通分量：对于图 G 的一个子图，这个子图为图 G 的连通分量，且是图 G 所有连通分量中包含节点数最多的那个，即为 G 的最大联通分量

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有向图强连通分量：在有向图 G 中，如果两个顶点 vi,vj 间（vi>vj）有一条从 vi 到 vj 的有向路径，同时还有一条从 vj 到 vi 的有向路径，则称两个顶点强连通 (strongly connected)。孤立的一个点也是一个强连通分量。

如果有向图 G 的每两个顶点都强连通，称 G 是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量（SCC, Strongly Connected Components）。把每个强联通分量看成一个集合，把每个集合看成一个点，那么所有 SCC 就形成了一个 DAG（有向无环图），就是著名的缩点。

Problem

根据题目意思，我们只需要找出一条点权最大的路径就行了，不限制点的个数。那么考虑对于一个环上的点被选择了，一整条环是不是应该都被选择，这一定很优，能选干嘛不选。很关键的是题目还允许我们重复经过某条边或者某个点，我们就不需要考虑其他了。因此整个环实际上可以看成一个点（选了其中一个点就应该选其他的点）

在处理了环后，我们就重新建立一张图，以每个环为节点（孤立一个点也算也算环的，其实也就是强联通分量了）。在这张图中我们要 dp，显然对于任意边 <u,v>， dp[v] = max(dp[v], dp[u] + new_weight[v]) 。

dp 的时候拓扑排一下序，这也是 DAGdp 的常见 trick 了。

	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N = 1e4+10, M = 1e5+10;
	struct node {
	int u, v, nxt;
	} e[M];
	int h[N], tot = 0;
	int dfn[N], low[N], tag = 0, top = 0, num = 0;
	int n, m, w[N], ww[N], f[N], id[N], s[N], in[N];
	void tarjan(int u) {

	dfn[u] = low[u] = ++tag;
	s[++top] = u;
	for(int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {
	v = e[i].v;
	if(!dfn[v]) {
	tarjan(v);
	low[u] = min(low[u], low[v]);
	} else if(!id[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}

	if(dfn[u] == low[u]) {
	++num;
	while(s[top] != u) {
	id[s[top]] = num; ww[num] += w[s[top]]; top--;
	}
	id[s[top]] = num; ww[num] += w[s[top]]; top--;
	}

	}

	int main() {

	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", w+i);

	for(int i=1; i<=m; ++i) {
	int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
	if(u == v) continue; e[++tot] = {u, v, h[u]}; h[u] = tot;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
	if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}

	memset(h, 0, sizeof h);
	for(int i=0, t=0; i<tot; ++i) {
	int u = id[e[i].u], v = id[e[i].v];
	if(u == v); else {
	e[++t] = {u, v, h[u]}; h[u] = t;
	++in[v];
	}
	}

	queue<int> q;
	for(int i=1; i<=num; ++i) {
	if(!in[i]) q.push(i);
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1; i<=num; ++i) f[i] = ww[i], ans = max(ans, f[i]);
	while(!q.empty()) {
	int u = q.front(); q.pop();
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
	int v = e[i].v;
	f[v] = max(f[v], f[u]+ww[v]);
	ans = max(ans, f[v]);
	--in[v];
	if(!in[v]) q.push(v);
	}
	}
	printf("%d\n", ans);

	return 0;
	}

割点：去掉无向联通图的某个点后，此图不连通，该点为割点。

Problem